乘和乘以的区别

数学中的“乘”与“乘以”，到底有何玄机？其实，它们之间的差异源自传统教学的概念强调与表达顺序。但在教育理念不断更新的今天，这种差异在基础教育中逐渐被淡化。那么，这两者到底有何不同呢？让我们一起来一下。

在传统意义上，“乘以”强调的是被乘数在前，乘数在后。例如，“3乘以4”意味着将3重复加四次，即3+3+3+3。而“乘”则强调乘数在前，被乘数在后。例如，“3乘4”意味着将4重复加三次，即4+4+4。在传统教学中，虽然两者的算式顺序不同，但最终结果相同，这是因为乘法的交换律使然。

随着现代教育的简化，这种差异逐渐被淡化。由于乘法满足交换律，即不论顺序如何，结果都一样。现代基础教育通常不再严格区分“乘”和“乘以”，而是统一使用“乘”来表达。例如，“3乘4”既可以理解为3×4，也可以读作4×3，结果都是12。教材和考试中通常直接使用数字和符号，如3×4，避免语言表述的歧义。

那么，何时需要区分顺序呢？在不满足交换律的运算中，如矩阵乘法、向量叉乘等，顺序至关重要。矩阵A乘矩阵B的结果不等于矩阵B乘矩阵A。但在中文表达中，仍然统一使用“乘”，如“矩阵A乘矩阵B”。

值得注意的是，除法与乘法有所不同。除法不满足交换律，因此“除”和“除以”的区分严格保留。例如，“6除以3”和“6除3”的结果完全不同。

过去的教学强调“乘”与“乘以”的顺序差异，体现被乘数与乘数的逻辑关系。而现在的基础教育则弱化这种区别，侧重结果和交换律，统一使用“乘”。而在高级数学中，非交换运算的顺序必须明确，但术语仍然简化为“乘”。理解这一区别有助于深入掌握数学概念，但实际应用中应以现代教材为准。