等边三角形练习题

以下是一系列关于等边三角形的练习题，旨在深入其性质和判定方法，并涉及综合应用。

一、选择题

1. 在等边三角形△ABC中，AD作为中线，点E位于AC上，且AE=AD。请问∠EDC的度数为多少？

答案：C，15°。

2. 在等边△ABC中，点D和E分别位于BC和AB上，BD=AE。AD与CE相交于点F。请问∠DFC的度数是多少？

答案：A，60°。

3. 根据哪些条件可以判定三角形为等边三角形？

答案：D。①有两个角为60°的三角形；②有一个角是60°的等腰三角形；③三边相等的三角形；④三个外角相等的三角形。

二、填空题

1. 等边三角形的每个内角均为60°，其三边上的中线、高线和角平分线相互重合，展现出三线合一的特性。

2. 若等边三角形的边长为4，则通过勾股定理计算，其高为2√3。

3. 在△ABC中，当BA=BC且∠B=120°时，AB的垂直平分线MN交AC于D。AD与DC的比为1:2。

三、解答题

1. 证明与计算

如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点，且AD=AE，DE⊥AB于E。

（1）通过等边三角形的性质和角的垂直关系，我们可以证明△ADE是等边三角形。

（2）利用勾股定理或三角函数，我们可以计算出DE=1时，BC的长度为2√3。

2. 综合应用

如图，在等边△ABC中，点P在AB上，PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，PA=CQ。连接PQ交AC于D。

我们需要证明DE=1/2 AC。这可以通过证明△APE与△CQD全等，并结合等边三角形的性质来完成。

四、拓展题

1. 在∠MON=30°的情况下，点A₁、A₂、A₃…位于射线ON上，点B₁、B₂、B₃…位于射线OM上。每一个由△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃…构成的三角形都是等边三角形。当OA₁=1时，通过几何规律，我们可以发现△A₆B₆A₇的边长为32，因为每构造一个三角形，边长都会翻倍。

注：解答以上题目需结合等边三角形的定义、判定方法及性质进行深入理解和应用。